KILLEDRuntime Complexity (innermost) proof of /tmp/tmptfbjbt/OvConsOS_nokinds_noand_C.xml
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).0 CpxTRS↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 3235 ms)↳2 BOUNDS(n^1, INF)↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)↳4 CpxRelTRS↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)↳6 typed CpxTrs↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳8 typed CpxTrs↳9 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 468 ms)↳10 BEST↳11 typed CpxTrs↳12 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 82 ms)↳13 BEST↳14 typed CpxTrs↳15 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳16 typed CpxTrs↳17 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 25 ms)↳18 BEST↳19 typed CpxTrs↳20 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 2 ms)↳21 typed CpxTrs↳22 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 99 ms)↳23 BEST↳24 typed CpxTrs↳25 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 94 ms)↳26 BEST↳27 typed CpxTrs↳28 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳29 typed CpxTrs↳30 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 22 ms)↳31 BEST↳32 typed CpxTrs↳33 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 23 ms)↳34 BEST↳35 typed CpxTrs↳36 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 225 ms)↳37 BEST↳38 typed CpxTrs↳39 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 158 ms)↳40 BEST↳41 typed CpxTrs↳42 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 37 ms)↳43 BEST↳44 typed CpxTrs↳45 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 10 ms)↳46 BEST↳47 typed CpxTrs↳48 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 32 ms)↳49 BEST↳50 typed CpxTrs↳51 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 42 ms)↳52 BEST↳53 typed CpxTrs↳54 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 126 ms)↳55 BEST↳56 typed CpxTrs↳57 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 96 ms)↳58 BEST↳59 typed CpxTrs↳60 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 72 ms)↳61 BEST↳62 typed CpxTrs↳63 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 151 ms)↳64 BEST↳65 typed CpxTrs↳66 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳67 BEST↳68 typed CpxTrs↳69 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 201 ms)↳70 BEST↳71 typed CpxTrs↳72 typed CpxTrs↳73 typed CpxTrs↳74 typed CpxTrs↳75 typed CpxTrs↳76 typed CpxTrs↳77 typed CpxTrs↳78 typed CpxTrs↳79 typed CpxTrs↳80 typed CpxTrs↳81 typed CpxTrs↳82 typed CpxTrs↳83 typed CpxTrs↳84 typed CpxTrs↳85 typed CpxTrs↳86 typed CpxTrs↳87 typed CpxTrs↳88 typed CpxTrs↳89 typed CpxTrs↳90 typed CpxTrs(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0, IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, cons, U42, isNatIList, U52, isNatList, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
cons < proper
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okGenerator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, U42, isNatIList, U52, isNatList, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
cons < proper
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U42, active, isNatIList, U52, isNatList, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)Induction Base:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2672_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, active, U52, isNatList, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.(16) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U52, active, isNatList, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)Induction Base:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n3809_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(18) Complex Obligation (BEST)
(19) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, active, U62, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList < active
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
isNatList < proper
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.(21) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U62, active, U72, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U62 < active
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U62 < proper
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(22) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)Induction Base:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5050_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(23) Complex Obligation (BEST)
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U72, active, isNat, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U72 < active
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U72 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)Induction Base:
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n6377_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(26) Complex Obligation (BEST)
(27) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, active, s, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNat < active
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
isNat < proper
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.(29) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
s < proper
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(30) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n9989_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(31) Complex Obligation (BEST)
(32) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, U92, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
length < proper
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n11567_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(34) Complex Obligation (BEST)
(35) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U92, active, U93, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U92 < active
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U92 < proper
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(36) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)Induction Base:
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))Induction Step:
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n13246_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) →RΩ(1)
mark(U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(37) Complex Obligation (BEST)
(38) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U93, active, take, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U93 < active
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U93 < proper
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)Induction Base:
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))Induction Step:
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n23017_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) →RΩ(1)
mark(U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(40) Complex Obligation (BEST)
(41) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
take, active, U11, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
take < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
take < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(42) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)Induction Base:
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n33792_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(43) Complex Obligation (BEST)
(44) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, U21, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(45) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)Induction Base:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n39296_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(46) Complex Obligation (BEST)
(47) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U21, active, U31, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(48) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)Induction Base:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n41722_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(49) Complex Obligation (BEST)
(50) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U31, active, U41, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(51) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)Induction Base:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n44249_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(52) Complex Obligation (BEST)
(53) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U41, active, U51, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U41 < active
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(54) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)Induction Base:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n46877_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(55) Complex Obligation (BEST)
(56) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U51, active, U61, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U51 < active
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U51 < proper
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(57) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)Induction Base:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n53104_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(58) Complex Obligation (BEST)
(59) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U61, active, U71, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U61 < active
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U61 < proper
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(60) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)Induction Base:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n59635_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(61) Complex Obligation (BEST)
(62) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U71, active, U81, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U71 < active
U81 < active
U91 < active
active < top
U71 < proper
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(63) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)Induction Base:
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))Induction Step:
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n66470_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) →RΩ(1)
mark(U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(64) Complex Obligation (BEST)
(65) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U81, active, U91, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U81 < active
U91 < active
active < top
U81 < proper
U91 < proper
proper < top(66) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n776730)Induction Base:
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n77673_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(67) Complex Obligation (BEST)
(68) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n776730)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U91, active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U91 < active
active < top
U91 < proper
proper < top(69) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n81051_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n810510)Induction Base:
U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))Induction Step:
U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n81051_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) →RΩ(1)
mark(U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n81051_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(70) Complex Obligation (BEST)
(71) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n776730)
U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n81051_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n810510)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top(72) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n776730)
U91(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n81051_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n810510)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(73) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)
U81(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n77673_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n776730)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(74) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)
U71(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n66470_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n664700)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(75) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n59635_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n596350)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(76) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53104_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n531040)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(77) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n46877_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n468770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(78) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44249_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n442490)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(79) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n41722_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n417220)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(80) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n39296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n392960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(81) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)
take(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n33792_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n337920)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(82) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)
U93(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n23017_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n230170)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(83) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)
U92(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13246_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(d)) → *4_0, rt ∈ Ω(n132460)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(84) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11567_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n115670)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(85) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9989_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n99890)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(86) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)
U72(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6377_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n63770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(87) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5050_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n50500)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(88) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3809_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n38090)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(89) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2672_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26720)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(90) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, V2)) → mark(U62(isNatIList(V2)))
active(U62(tt)) → mark(tt)
active(U71(tt, L, N)) → mark(U72(isNat(N), L))
active(U72(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(U81(tt)) → mark(nil)
active(U91(tt, IL, M, N)) → mark(U92(isNat(M), IL, M, N))
active(U92(tt, IL, M, N)) → mark(U93(isNat(N), IL, M, N))
active(U93(tt, IL, M, N)) → mark(cons(N, take(M, IL)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(isNatList(take(V1, V2))) → mark(U61(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U71(isNatList(L), L, N))
active(take(0', IL)) → mark(U81(isNatIList(IL)))
active(take(s(M), cons(N, IL))) → mark(U91(isNatIList(IL), IL, M, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(U62(X)) → U62(active(X))
active(U71(X1, X2, X3)) → U71(active(X1), X2, X3)
active(U72(X1, X2)) → U72(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(U81(X)) → U81(active(X))
active(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(active(X1), X2, X3, X4)
active(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(active(X1), X2, X3, X4)
active(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(active(X1), X2, X3, X4)
active(take(X1, X2)) → take(active(X1), X2)
active(take(X1, X2)) → take(X1, active(X2))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
U62(mark(X)) → mark(U62(X))
U71(mark(X1), X2, X3) → mark(U71(X1, X2, X3))
U72(mark(X1), X2) → mark(U72(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
U81(mark(X)) → mark(U81(X))
U91(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(mark(X1), X2, X3, X4) → mark(U93(X1, X2, X3, X4))
take(mark(X1), X2) → mark(take(X1, X2))
take(X1, mark(X2)) → mark(take(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(U62(X)) → U62(proper(X))
proper(U71(X1, X2, X3)) → U71(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U72(X1, X2)) → U72(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(U81(X)) → U81(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U91(X1, X2, X3, X4)) → U91(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U92(X1, X2, X3, X4)) → U92(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(U93(X1, X2, X3, X4)) → U93(proper(X1), proper(X2), proper(X3), proper(X4))
proper(take(X1, X2)) → take(proper(X1), proper(X2))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
U62(ok(X)) → ok(U62(X))
U71(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U71(X1, X2, X3))
U72(ok(X1), ok(X2)) → ok(U72(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
U81(ok(X)) → ok(U81(X))
U91(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U91(X1, X2, X3, X4))
U92(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U92(X1, X2, X3, X4))
U93(ok(X1), ok(X2), ok(X3), ok(X4)) → ok(U93(X1, X2, X3, X4))
take(ok(X1), ok(X2)) → ok(take(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U71 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U72 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U81 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U91 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U92 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U93 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
take :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.